# 动态规划
## 背景
先从一道题目开始~
如题 [triangle](https://leetcode-cn.com/problems/triangle/)
> 给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
例如，给定三角形：
```text
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
```
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
使用 DFS（遍历 或者 分治法）
遍历
分治法
优化 DFS，缓存已经被计算的值（称为：记忆化搜索 本质上：动态规划）
动态规划就是把大问题变成小问题，并解决了小问题重复计算的方法称为动态规划
动态规划和 DFS 区别
- 二叉树 子问题是没有交集，所以大部分二叉树都用递归或者分治法，即 DFS，就可以解决
- 像 triangle 这种是有重复走的情况，**子问题是有交集**，所以可以用动态规划来解决
动态规划，自底向上
```go
func minimumTotal(triangle [][]int) int {
if len(triangle) == 0 || len(triangle[0]) == 0 {
return 0
}
// 1、状态定义：f[i][j] 表示从i,j出发，到达最后一层的最短路径
var l = len(triangle)
var f = make([][]int, l)
// 2、初始化
for i := 0; i < l; i++ {
for j := 0; j < len(triangle[i]); j++ {
if f[i] == nil {
f[i] = make([]int, len(triangle[i]))
}
f[i][j] = triangle[i][j]
}
}
// 3、递推求解
for i := len(triangle) - 2; i >= 0; i-- {
for j := 0; j < len(triangle[i]); j++ {
f[i][j] = min(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
}
}
// 4、答案
return f[0][0]
}
func min(a, b int) int {
if a > b {
return b
}
return a
}
```
动态规划，自顶向下
```go
// 测试用例：
// [
// [2],
// [3,4],
// [6,5,7],
// [4,1,8,3]
// ]
func minimumTotal(triangle [][]int) int {
if len(triangle) == 0 || len(triangle[0]) == 0 {
return 0
}
// 1、状态定义：f[i][j] 表示从0,0出发，到达i,j的最短路径
var l = len(triangle)
var f = make([][]int, l)
// 2、初始化
for i := 0; i < l; i++ {
for j := 0; j < len(triangle[i]); j++ {
if f[i] == nil {
f[i] = make([]int, len(triangle[i]))
}
f[i][j] = triangle[i][j]
}
}
// 递推求解
for i := 1; i < l; i++ {
for j := 0; j < len(triangle[i]); j++ {
// 这里分为两种情况：
// 1、上一层没有左边值
// 2、上一层没有右边值
if j-1 < 0 {
f[i][j] = f[i-1][j] + triangle[i][j]
} else if j >= len(f[i-1]) {
f[i][j] = f[i-1][j-1] + triangle[i][j]
} else {
f[i][j] = min(f[i-1][j], f[i-1][j-1]) + triangle[i][j]
}
}
}
result := f[l-1][0]
for i := 1; i < len(f[l-1]); i++ {
result = min(result, f[l-1][i])
}
return result
}
func min(a, b int) int {
if a > b {
return b
}
return a
}
```
## 递归和动规关系
递归是一种程序的实现方式：函数的自我调用
```go
Function(x) {
...
Funciton(x-1);
...
}
```
动态规划：是一种解决问 题的思想，大规模问题的结果，是由小规模问 题的结果运算得来的。动态规划可用递归来实现(Memorization Search)
## 使用场景
满足两个条件
- 满足以下条件之一
- 求最大/最小值（Maximum/Minimum ）
- 求是否可行（Yes/No ）
- 求可行个数（Count(\*) ）
- 满足不能排序或者交换（Can not sort / swap ）
如题：[longest-consecutive-sequence](https://leetcode-cn.com/problems/longest-consecutive-sequence/) 位置可以交换，所以不用动态规划
## 四点要素
1. **状态 State**
- 灵感，创造力，存储小规模问题的结果
2. 方程 Function
- 状态之间的联系，怎么通过小的状态，来算大的状态
3. 初始化 Intialization
- 最极限的小状态是什么, 起点
4. 答案 Answer
- 最大的那个状态是什么，终点
## 常见四种类型
1. Matrix DP (10%)
1. Sequence (40%)
1. Two Sequences DP (40%)
1. Backpack (10%)
> 注意点
>
> - 贪心算法大多题目靠背答案，所以如果能用动态规划就尽量用动规，不用贪心算法
## 1、矩阵类型（10%）
### [minimum-path-sum](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum/)
> 给定一个包含非负整数的 *m* x *n* 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
思路：动态规划
1、state: f[x][y]从起点走到 x,y 的最短路径
2、function: f[x][y] = min(f[x-1][y], f[x][y-1]) + A[x][y]
3、intialize: f[0][0] = A[0][0]、f[i][0] = sum(0,0 -> i,0)、 f[0][i] = sum(0,0 -> 0,i)
4、answer: f[n-1][m-1]
```go
func minPathSum(grid [][]int) int {
// 思路：动态规划
// f[i][j] 表示i,j到0,0的和最小
if len(grid) == 0 || len(grid[0]) == 0 {
return 0
}
// 复用原来的矩阵列表
// 初始化：f[i][0]、f[0][j]
for i := 1; i < len(grid); i++ {
grid[i][0] = grid[i][0] + grid[i-1][0]
}
for j := 1; j < len(grid[0]); j++ {
grid[0][j] = grid[0][j] + grid[0][j-1]
}
for i := 1; i < len(grid); i++ {
for j := 1; j < len(grid[i]); j++ {
grid[i][j] = min(grid[i][j-1], grid[i-1][j]) + grid[i][j]
}
}
return grid[len(grid)-1][len(grid[0])-1]
}
func min(a, b int) int {
if a > b {
return b
}
return a
}
```
### [unique-paths](https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/)
> 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
> 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
> 问总共有多少条不同的路径？
```go
func uniquePaths(m int, n int) int {
// f[i][j] 表示i,j到0,0路径数
f := make([][]int, m)
for i := 0; i < m; i++ {
for j := 0; j < n; j++ {
if f[i] == nil {
f[i] = make([]int, n)
}
f[i][j] = 1
}
}
for i := 1; i < m; i++ {
for j := 1; j < n; j++ {
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]
}
}
return f[m-1][n-1]
}
```
### [unique-paths-ii](https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii/)
> 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
> 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
> 问总共有多少条不同的路径？
> 现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
```go
func uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid [][]int) int {
// f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1] 并检查障碍物
if obstacleGrid[0][0] == 1 {
return 0
}
m := len(obstacleGrid)
n := len(obstacleGrid[0])
f := make([][]int, m)
for i := 0; i < m; i++ {
for j := 0; j < n; j++ {
if f[i] == nil {
f[i] = make([]int, n)
}
f[i][j] = 1
}
}
for i := 1; i < m; i++ {
if obstacleGrid[i][0] == 1 || f[i-1][0] == 0 {
f[i][0] = 0
}
}
for j := 1; j < n; j++ {
if obstacleGrid[0][j] == 1 || f[0][j-1] == 0 {
f[0][j] = 0
}
}
for i := 1; i < m; i++ {
for j := 1; j < n; j++ {
if obstacleGrid[i][j] == 1 {
f[i][j] = 0
} else {
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]
}
}
}
return f[m-1][n-1]
}
```
## 2、序列类型（40%）
### [climbing-stairs](https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/)
> 假设你正在爬楼梯。需要 *n* 阶你才能到达楼顶。
```go
func climbStairs(n int) int {
// f[i] = f[i-1] + f[i-2]
if n == 1 || n == 0 {
return n
}
f := make([]int, n+1)
f[1] = 1
f[2] = 2
for i := 3; i <= n; i++ {
f[i] = f[i-1] + f[i-2]
}
return f[n]
}
```
### [jump-game](https://leetcode-cn.com/problems/jump-game/)
> 给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。
> 数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
> 判断你是否能够到达最后一个位置。
```go
func canJump(nums []int) bool {
// 思路：看最后一跳
// 状态：f[i] 表示是否能从0跳到i
// 推导：f[i] = OR(f[j],j= i {
f[i] = true
}
}
}
return f[len(nums)-1]
}
```
### [jump-game-ii](https://leetcode-cn.com/problems/jump-game-ii/)
> 给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。
> 数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
> 你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。
```go
func jump(nums []int) int {
// 状态：f[i] 表示从起点到当前位置最小次数
// 推导：f[i] = f[j],a[j]+j >=i,min(f[j]+1)
// 初始化：f[0] = 0
// 结果：f[n-1]
f := make([]int, len(nums))
f[0] = 0
for i := 1; i < len(nums); i++ {
// f[i] 最大值为i
f[i] = i
// 遍历之前结果取一个最小值+1
for j := 0; j < i; j++ {
if nums[j]+j >= i {
f[i] = min(f[j]+1,f[i])
}
}
}
return f[len(nums)-1]
}
func min(a, b int) int {
if a > b {
return b
}
return a
}
```
### [palindrome-partitioning-ii](https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning-ii/)
> 给定一个字符串 _s_，将 _s_ 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。
> 返回符合要求的最少分割次数。
```go
func minCut(s string) int {
// state: f[i] "前i"个字符组成的子字符串需要最少几次cut(个数-1为索引)
// function: f[i] = MIN{f[j]+1}, j < i && [j+1 ~ i]这一段是一个回文串
// intialize: f[i] = i - 1 (f[0] = -1)
// answer: f[s.length()]
if len(s) == 0 || len(s) == 1 {
return 0
}
f := make([]int, len(s)+1)
f[0] = -1
f[1] = 0
for i := 1; i <= len(s); i++ {
f[i] = i - 1
for j := 0; j < i; j++ {
if isPalindrome(s, j, i-1) {
f[i] = min(f[i], f[j]+1)
}
}
}
return f[len(s)]
}
func min(a, b int) int {
if a > b {
return b
}
return a
}
func isPalindrome(s string, i, j int) bool {
for i < j {
if s[i] != s[j] {
return false
}
i++
j--
}
return true
}
```
注意点
- 判断回文字符串时，可以提前用动态规划算好，减少时间复杂度
### [longest-increasing-subsequence](https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/)
> 给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。
```go
func lengthOfLIS(nums []int) int {
// f[i] 表示从0开始到i结尾的最长序列长度
// f[i] = max(f[j])+1 ,a[j] b {
return a
}
return b
}
```
### [word-break](https://leetcode-cn.com/problems/word-break/)
> 给定一个**非空**字符串 *s* 和一个包含**非空**单词列表的字典 *wordDict*，判定 *s* 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
```go
func wordBreak(s string, wordDict []string) bool {
// f[i] 表示前i个字符是否可以被切分
// f[i] = f[j] && s[j+1~i] in wordDict
// f[0] = true
// return f[len]
if len(s) == 0 {
return true
}
f := make([]bool, len(s)+1)
f[0] = true
max := maxLen(wordDict)
for i := 1; i <= len(s); i++ {
for j := i - max; j < i && j >= 0; j++ {
if f[j] && inDict(s[j:i]) {
f[i] = true
break
}
}
}
return f[len(s)]
}
var dict = make(map[string]bool)
func maxLen(wordDict []string) int {
max := 0
for _, v := range wordDict {
dict[v] = true
if len(v) > max {
max = len(v)
}
}
return max
}
func inDict(s string) bool {
_, ok := dict[s]
return ok
}
```
小结
常见处理方式是给 0 位置占位，这样处理问题时一视同仁，初始化则在原来基础上 length+1，返回结果 f[n]
- 状态可以为前 i 个
- 初始化 length+1
- 取值 index=i-1
- 返回值：f[n]或者 f[m][n]
## Two Sequences DP（40%）
### [longest-common-subsequence](https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence/)
> 给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列。
> 一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
> 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。
```go
func longestCommonSubsequence(a string, b string) int {
// dp[i][j] a前i个和b前j个字符最长公共子序列
// dp[m+1][n+1]
// ' a d c e
// ' 0 0 0 0 0
// a 0 1 1 1 1
// c 0 1 1 2 1
//
dp:=make([][]int,len(a)+1)
for i:=0;i<=len(a);i++ {
dp[i]=make([]int,len(b)+1)
}
for i:=1;i<=len(a);i++ {
for j:=1;j<=len(b);j++ {
// 相等取左上元素+1，否则取左或上的较大值
if a[i-1]==b[j-1] {
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
} else {
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
}
}
}
return dp[len(a)][len(b)]
}
func max(a,b int)int {
if a>b{
return a
}
return b
}
```
注意点
- go 切片初始化
```go
dp:=make([][]int,len(a)+1)
for i:=0;i<=len(a);i++ {
dp[i]=make([]int,len(b)+1)
}
```
- 从 1 开始遍历到最大长度
- 索引需要减一
### [edit-distance](https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/)
> 给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数
> 你可以对一个单词进行如下三种操作：
> 插入一个字符
> 删除一个字符
> 替换一个字符
思路：和上题很类似，相等则不需要操作，否则取删除、插入、替换最小操作次数的值+1
```go
func minDistance(word1 string, word2 string) int {
// dp[i][j] 表示a字符串的前i个字符编辑为b字符串的前j个字符最少需要多少次操作
// dp[i][j] = OR(dp[i-1][j-1]，a[i]==b[j],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1)
dp:=make([][]int,len(word1)+1)
for i:=0;ib{
return b
}
return a
}
```
说明
> 另外一种做法：MAXLEN(a,b)-LCS(a,b)
## 零钱和背包（10%）
### [coin-change](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/)
> 给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
思路：和其他 DP 不太一样，i 表示钱或者容量
```go
func coinChange(coins []int, amount int) int {
// 状态 dp[i]表示金额为i时，组成的最小硬币个数
// 推导 dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2], dp[i-5])+1, 前提 i-coins[j] > 0
// 初始化为最大值 dp[i]=amount+1
// 返回值 dp[n] or dp[n]>amount =>-1
dp:=make([]int,amount+1)
for i:=0;i<=amount;i++{
dp[i]=amount+1
}
dp[0]=0
for i:=1;i<=amount;i++{
for j:=0;j=0 {
dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1)
}
}
}
if dp[amount] > amount {
return -1
}
return dp[amount]
}
func min(a,b int)int{
if a>b{
return b
}
return a
}
```
注意
> dp[i-a[j]] 决策 a[j]是否参与
### [backpack](https://www.lintcode.com/problem/backpack/description)
> 在 n 个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为 m，每个物品的大小为 A[i]
```go
func backPack (m int, A []int) int {
// write your code here
// f[i][j] 前i个物品，是否能装j
// f[i][j] =f[i-1][j] f[i-1][j-a[i] j>a[i]
// f[0][0]=true f[...][0]=true
// f[n][X]
f:=make([][]bool,len(A)+1)
for i:=0;i<=len(A);i++{
f[i]=make([]bool,m+1)
}
f[0][0]=true
for i:=1;i<=len(A);i++{
for j:=0;j<=m;j++{
f[i][j]=f[i-1][j]
if j-A[i-1]>=0 && f[i-1][j-A[i-1]]{
f[i][j]=true
}
}
}
for i:=m;i>=0;i--{
if f[len(A)][i] {
return i
}
}
return 0
}
```
### [backpack-ii](https://www.lintcode.com/problem/backpack-ii/description)
> 有 `n` 个物品和一个大小为 `m` 的背包. 给定数组 `A` 表示每个物品的大小和数组 `V` 表示每个物品的价值.
> 问最多能装入背包的总价值是多大?
思路：f[i][j] 前 i 个物品，装入 j 背包 最大价值
```go
func backPackII (m int, A []int, V []int) int {
// write your code here
// f[i][j] 前i个物品，装入j背包 最大价值
// f[i][j] =max(f[i-1][j] ,f[i-1][j-A[i]]+V[i]) 是否加入A[i]物品
// f[0][0]=0 f[0][...]=0 f[...][0]=0
f:=make([][]int,len(A)+1)
for i:=0;i= 0{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-A[i-1]]+V[i-1])
}
}
}
return f[len(A)][m]
}
func max(a,b int)int{
if a>b{
return a
}
return b
}
```
## 练习
Matrix DP (10%)
- [ ] [triangle](https://leetcode-cn.com/problems/triangle/)
- [ ] [minimum-path-sum](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum/)
- [ ] [unique-paths](https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/)
- [ ] [unique-paths-ii](https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii/)
Sequence (40%)
- [ ] [climbing-stairs](https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/)
- [ ] [jump-game](https://leetcode-cn.com/problems/jump-game/)
- [ ] [jump-game-ii](https://leetcode-cn.com/problems/jump-game-ii/)
- [ ] [palindrome-partitioning-ii](https://leetcode-cn.com/problems/palindrome-partitioning-ii/)
- [ ] [longest-increasing-subsequence](https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/)
- [ ] [word-break](https://leetcode-cn.com/problems/word-break/)
Two Sequences DP (40%)
- [ ] [longest-common-subsequence](https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence/)
- [ ] [edit-distance](https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance/)
Backpack & Coin Change (10%)
- [ ] [coin-change](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/)
- [ ] [backpack](https://www.lintcode.com/problem/backpack/description)
- [ ] [backpack-ii](https://www.lintcode.com/problem/backpack-ii/description)