# 二分搜索
## 二分搜索模板
给一个**有序数组**和目标值，找第一次/最后一次/任何一次出现的索引，如果没有出现返回-1
模板四点要素
- 1、初始化：start=0、end=len-1
- 2、循环退出条件：start + 1 < end
- 3、比较中点和目标值：A[mid] ==、 <、> target
- 4、判断最后两个元素是否符合：A[start]、A[end] ? target
时间复杂度 O(logn)，使用场景一般是有序数组的查找
典型示例
[binary-search](https://leetcode-cn.com/problems/binary-search/)
> 给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
```go
// 二分搜索最常用模板
func search(nums []int, target int) int {
// 1、初始化start、end
start := 0
end := len(nums) - 1
// 2、处理for循环
for start+1 < end {
mid := start + (end-start)/2
// 3、比较a[mid]和target值
if nums[mid] == target {
end = mid
} else if nums[mid] < target {
start = mid
} else if nums[mid] > target {
end = mid
}
}
// 4、最后剩下两个元素，手动判断
if nums[start] == target {
return start
}
if nums[end] == target {
return end
}
return -1
}
```
大部分二分查找类的题目都可以用这个模板，然后做一点特殊逻辑即可
另外二分查找还有一些其他模板如下图，大部分场景模板#3 都能解决问题，而且还能找第一次/最后一次出现的位置，应用更加广泛
所以用模板#3 就对了，详细的对比可以这边文章介绍：[二分搜索模板](https://leetcode-cn.com/explore/learn/card/binary-search/212/template-analysis/847/)
如果是最简单的二分搜索，不需要找第一个、最后一个位置、或者是没有重复元素，可以使用模板#1，代码更简洁
```go
// 无重复元素搜索时，更方便
func search(nums []int, target int) int {
start := 0
end := len(nums) - 1
for start <= end {
mid := start + (end-start)/2
if nums[mid] == target {
return mid
} else if nums[mid] < target {
start = mid+1
} else if nums[mid] > target {
end = mid-1
}
}
// 如果找不到，start 是第一个大于target的索引
// 如果在B+树结构里面二分搜索，可以return start
// 这样可以继续向子节点搜索，如：node:=node.Children[start]
return -1
}
```
## 常见题目
### [search-for-range](https://www.lintcode.com/problem/search-for-a-range/description)
> 给定一个包含 n 个整数的排序数组，找出给定目标值 target 的起始和结束位置。
> 如果目标值不在数组中，则返回`[-1, -1]`
思路：核心点就是找第一个 target 的索引，和最后一个 target 的索引，所以用两次二分搜索分别找第一次和最后一次的位置
```go
func searchRange (A []int, target int) []int {
if len(A) == 0 {
return []int{-1, -1}
}
result := make([]int, 2)
start := 0
end := len(A) - 1
for start+1 < end {
mid := start + (end-start)/2
if A[mid] > target {
end = mid
} else if A[mid] < target {
start = mid
} else {
// 如果相等，应该继续向左找，就能找到第一个目标值的位置
end = mid
}
}
// 搜索左边的索引
if A[start] == target {
result[0] = start
} else if A[end] == target {
result[0] = end
} else {
result[0] = -1
result[1] = -1
return result
}
start = 0
end = len(A) - 1
for start+1 < end {
mid := start + (end-start)/2
if A[mid] > target {
end = mid
} else if A[mid] < target {
start = mid
} else {
// 如果相等，应该继续向右找，就能找到最后一个目标值的位置
start = mid
}
}
// 搜索右边的索引
if A[end] == target {
result[1] = end
} else if A[start] == target {
result[1] = start
} else {
result[0] = -1
result[1] = -1
return result
}
return result
}
```
### [search-insert-position](https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/)
> 给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
```go
func searchInsert(nums []int, target int) int {
// 思路：找到第一个 >= target 的元素位置
start := 0
end := len(nums) - 1
for start+1 < end {
mid := start + (end-start)/2
if nums[mid] == target {
// 标记开始位置
start = mid
} else if nums[mid] > target {
end = mid
} else {
start = mid
}
}
if nums[start] >= target {
return start
} else if nums[end] >= target {
return end
} else if nums[end] < target { // 目标值比所有值都大
return end + 1
}
return 0
}
```
### [search-a-2d-matrix](https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix/)
> 编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：
>
> - 每行中的整数从左到右按升序排列。
> - 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。
```go
func searchMatrix(matrix [][]int, target int) bool {
// 思路：将2纬数组转为1维数组 进行二分搜索
if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 {
return false
}
row := len(matrix)
col := len(matrix[0])
start := 0
end := row*col - 1
for start+1 < end {
mid := start + (end-start)/2
// 获取2纬数组对应值
val := matrix[mid/col][mid%col]
if val > target {
end = mid
} else if val < target {
start = mid
} else {
return true
}
}
if matrix[start/col][start%col] == target || matrix[end/col][end%col] == target{
return true
}
return false
}
```
### [first-bad-version](https://leetcode-cn.com/problems/first-bad-version/)
> 假设你有 n 个版本 [1, 2, ..., n]，你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。
> 你可以通过调用 bool isBadVersion(version) 接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。
```go
func firstBadVersion(n int) int {
// 思路：二分搜索
start := 0
end := n
for start+1 < end {
mid := start + (end - start)/2
if isBadVersion(mid) {
end = mid
} else if isBadVersion(mid) == false {
start = mid
}
}
if isBadVersion(start) {
return start
}
return end
}
```
### [find-minimum-in-rotated-sorted-array](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/)
> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。
> 请找出其中最小的元素。
```go
func findMin(nums []int) int {
// 思路：/ / 最后一个值作为target，然后往左移动，最后比较start、end的值
if len(nums) == 0 {
return -1
}
start := 0
end := len(nums) - 1
for start+1 < end {
mid := start + (end-start)/2
// 最后一个元素值为target
if nums[mid] <= nums[end] {
end = mid
} else {
start = mid
}
}
if nums[start] > nums[end] {
return nums[end]
}
return nums[start]
}
```
### [find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/)
> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转
> ( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。
> 请找出其中最小的元素。(包含重复元素)
```go
func findMin(nums []int) int {
// 思路：跳过重复元素，mid值和end值比较，分为两种情况进行处理
if len(nums) == 0 {
return -1
}
start := 0
end := len(nums) - 1
for start+1 < end {
// 去除重复元素
for start < end && nums[end] == nums[end-1] {
end--
}
for start < end && nums[start] == nums[start+1] {
start++
}
mid := start + (end-start)/2
// 中间元素和最后一个元素比较（判断中间点落在左边上升区，还是右边上升区）
if nums[mid] <= nums[end] {
end = mid
} else {
start = mid
}
}
if nums[start] > nums[end] {
return nums[end]
}
return nums[start]
}
```
### [search-in-rotated-sorted-array](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array/)
> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。
> ( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。
> 搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。
> 你可以假设数组中不存在重复的元素。
```go
func search(nums []int, target int) int {
// 思路：/ / 两条上升直线，四种情况判断
if len(nums) == 0 {
return -1
}
start := 0
end := len(nums) - 1
for start+1 < end {
mid := start + (end-start)/2
// 相等直接返回
if nums[mid] == target {
return mid
}
// 判断在那个区间，可能分为四种情况
if nums[start] < nums[mid] {
if nums[start] <= target && target <= nums[mid] {
end = mid
} else {
start = mid
}
} else if nums[end] > nums[mid] {
if nums[end] >= target && nums[mid] <= target {
start = mid
} else {
end = mid
}
}
}
if nums[start] == target {
return start
} else if nums[end] == target {
return end
}
return -1
}
```
注意点
> 面试时，可以直接画图进行辅助说明，空讲很容易让大家都比较蒙圈
### [search-in-rotated-sorted-array-ii](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array-ii/)
> 假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。
> ( 例如，数组 [0,0,1,2,2,5,6] 可能变为 [2,5,6,0,0,1,2] )。
> 编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。若存在返回 true，否则返回 false。(包含重复元素)
```go
func search(nums []int, target int) bool {
// 思路：/ / 两条上升直线，四种情况判断，并且处理重复数字
if len(nums) == 0 {
return false
}
start := 0
end := len(nums) - 1
for start+1 < end {
// 处理重复数字
for start < end && nums[start] == nums[start+1] {
start++
}
for start < end && nums[end] == nums[end-1] {
end--
}
mid := start + (end-start)/2
// 相等直接返回
if nums[mid] == target {
return true
}
// 判断在那个区间，可能分为四种情况
if nums[start] < nums[mid] {
if nums[start] <= target && target <= nums[mid] {
end = mid
} else {
start = mid
}
} else if nums[end] > nums[mid] {
if nums[end] >= target && nums[mid] <= target {
start = mid
} else {
end = mid
}
}
}
if nums[start] == target || nums[end] == target {
return true
}
return false
}
```
## 总结
二分搜索核心四点要素（必背&理解）
- 1、初始化：start=0、end=len-1
- 2、循环退出条件：start + 1 < end
- 3、比较中点和目标值：A[mid] ==、 <、> target
- 4、判断最后两个元素是否符合：A[start]、A[end] ? target
## 练习题
- [ ] [search-for-range](https://www.lintcode.com/problem/search-for-a-range/description)
- [ ] [search-insert-position](https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/)
- [ ] [search-a-2d-matrix](https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix/)
- [ ] [first-bad-version](https://leetcode-cn.com/problems/first-bad-version/)
- [ ] [find-minimum-in-rotated-sorted-array](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/)
- [ ] [find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/)
- [ ] [search-in-rotated-sorted-array](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array/)
- [ ] [search-in-rotated-sorted-array-ii](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array-ii/)